大學極限的心得體會

求極限沒有固定的方法，必須是具體問題具體分析，如下爲小編爲大家整理的大學極限的心得體會，僅供參考！

下面是我整理的一些自己學習數學的經驗，在必要的時候我會結合具體例子來談，希 望不會讓人覺得枯燥。提到推薦用書，除了經典的兩個方案，其實還有一套：《大學數學――概念、方 法與技巧》，上冊爲高等數學部分，下冊爲線性代數與概率統計部分。清華大學出 的，非常不錯，我在圖書館借到過，但不能確定現在是否還在。個人覺得這套書，或 者燈哥的，或者二李的，三選其一就足夠了。考研數學主要考查：基本概念、運算能力、綜合分析的思維方法。而我們平時的 學期考試基本只涉及前兩部分。先講基本概念。

在接觸輔導書之前最好先過一遍教材，以便大致有個瞭解，最好結合考綱，這樣 有針對性。

06年的大綱要暑假時纔出，先借05年的來看吧，數學不像政治那樣一年一 變，九成以上的東西是不會變的。同濟版《高等數學》、浙大版《概率論與數理統 計》大家應該都有，至於線代，我們本科學習時用的線代教材是同濟版《線性代 數》，但不推薦，因爲這本書過於抽象乾澀，建議用北大版《高等代數》（上冊）代 替。看教材時，所有定理的證明都可以跳過，比如第一章極限，看上去就讓人頭暈的 “ε―δ”語言是數學系的同仁作的工作，不用管它，你只需要看到一個初等函數後會用 “代入法”求其在某一點的極限就可以了，書上有很多東西寫得很詳細，看的時候要 抓主要矛盾，有所取捨，具體說起來就是着重考綱中要求爲“理解”和“掌握”的部 分。但因爲了解過程也有助於記憶結論，所以如果時間允許，也可以大致瞭解一下重 要定理的證明思路。不管看不看過程，最終的目的只有一個：記得公式和定理。不同 於高考，考研數學要求記憶的知識點非常多，所以必須要像學習英語單詞那樣時常回 憶，加深印象。

記得知識點以後要做什麼？自然是用於解題。

這時候就出現了一個值得注意的問 題，那就是定理和公式成立的條件，還是拿上面這個例子來說，函數能夠代入某點的 取值來求極限的條件是什麼？那就是這個函數是連續函數，雖然說我們碰到的大部分 函數都是連續的，但最好還是不要想當然。類似的例子還有很多，而且就我個人的經 驗以及和以前一起復習的同學交流的情況來看，很多人容易忽視這個環節。連續函數 的若干性質，如最大值最小值定理、零點定理等，都是指的閉區間上連續函數的性 質；中值定理那一章節裏，很多定理成立的條件都是所給函數在閉區間上連續、開區 間上可導；應用得非常多的格林公式和高斯公式成立的條件是對應的閉合曲線或閉合 曲面所包圍的區域內不含奇點，在所求積分區域不閉合時要用補線或補面的方法，當 有奇點時要想辦法把單連通區域轉化成多連通區域，使得對應的多連通區域不含奇點 後才能應用相應的定理。強烈建議大家在複習過程中自己多總結，總的來說，記得知 識點不是難事，但是一定要注意同時把某一知識點對應的適用條件也掌握好！只有同c時把這兩方面把握住了，概念這一塊纔算過關，纔算打好了基礎。接下來是運算能力。

這裏所說的運算能力包括速度和準確率兩個方面，我以前在高中的時候就吃過這 方面的虧，一張數學卷子發下來，題目都會做，都有思路，但是一做起來就漏洞百 出，總有地方出錯，結果時間自然不夠。歸根結底就是因爲自己平時從來不練，看到 一道題，先想思路，如果方法上沒有什麼障礙的話就認爲不會有問題了，其實事實上 如果真的動手去做很可能發現並非想象那麼簡單。進大學以後我就時常注意在學習的 同時多練習，因爲我是着手準備考研比較早的，所以時間上比較充裕，光高等數學部 分來說大概做了約6000道習題，線性代數和概率統計沒有這麼多，基本就是書後習題 加陳文燈複習指導的書後題目，畢竟高數是最佔分量的部分。我的建議是：書後習題 不用全做，因爲拿高數書來說，每章後邊的習題都是分大題小題的，一道大題可能有 若干小題，那麼這些小題基本算上同一類的，有選擇性的做就可以了，注意把不同類 型的題目都涉及到就差不多了，然後是陳文燈或者其它複習參考書後的習題。下面總 結了一些我個人覺得比較重要的運算方面的內容：求極限、求導數、求高階導數、求 不定積分、求向量的點積和叉積、複合函數求導的鏈式法則、行列式或矩陣的初等變 換、矩陣的乘法，基本上就這些吧，一定要練到熟得不能再熟，基本不出錯的地步。

運算速度到後期顯得比較重要，因爲衝刺階段都是要整張卷子的做，這時不僅要分配 好各部分題目的時間，而且要確保能在預計的時間裏完成相應的任務，否則會對個人 的情緒產生影響，考研數學九道大題，至少應該留兩個小時來做，我個人覺得比較好 的時間分配是：選填題45分鐘，解答題2小時。最後是綜合分析的思維方法。

由於考研數學的知識點涉及面很廣，而一張卷子能考查的覆蓋面是有限的，那很 自然會在綜合要求上有所提高，試想一道僅涉及求導數的題目和一道把求導、極值和 空間解析幾何結合起來的題目哪個更容易作爲考題？舉個例子，陳文燈的臨考演習裏 有一道題目是在橢球面上找一點，使過該點的切面與三座標面所夾的幾何體體積最 大，這就是一道很好的綜合題目。再比如，作爲聯繫重積分和曲線（曲面）積分的橋 樑，格林公式、高斯公式或斯托克斯公式幾乎是每年必挑一個來考，原因很簡單，這 樣子一道題目就可以覆蓋兩大塊知識點，對命題人來說這是最好不過的了。

還有一些數學上的思想方法：分類討論、數形結合、微元分析等。

因爲高等數學 裏面函數的地位是很重的，所以很有必要熟悉一些常用函數的性態，在涉及到此的時 候最好能數形結合，便於分析，而且不要僅限於直角座標的，極座標下某些曲線的圖 形也應該掌握，比如星形線、對數螺線等，如果把對象擴大到空間座標系，那還有各 種旋轉面、柱面、錐面等，要會寫它們的柱座標或者球座標方程，這在求重積分的時 候是重要的解題手段。在涉及到利用對稱性時，數形結合有助於分析。至於分類討 論，線性代數用得比較多，尤其是在涉及線性方程組的題目時，對於未知參數常常需c討論取值。微元分析可謂是大學數學裏最重要的思維方法了，不僅數學要用到，很多 後續課程都要用到，具體的思路大家可以參考定積分的應用部分，書上也有很多具體 例子，就不詳細解釋了，因爲它實在是太有用了，所以我個人覺得必須熟練掌握。

還 有一些數學上的思想方法：分類討論、數形結合、微元分析等。因爲高等數學裏面函 數的地位是很重的，所以很有必要熟悉一些常用函數的性態，在涉及到此的時候最好 能數形結合，便於分析，而且不要僅限於直角座標的，極座標下某些曲線的圖形也應 該掌握，比如星形線、對數螺線等，如果把對象擴大到空間座標系，那還有各種旋轉 面、柱面、錐面等，要會寫它們的柱座標或者球座標方程，這在求重積分的時候是重 要的解題手段。

在涉及到利用對稱性時，數形結合有助於分析。至於分類討論，線性 代數用得比較多，尤其是在涉及線性方程組的題目時，對於未知參數常常需討論取 值。微元分析可謂是大學數學裏最重要的思維方法了，不僅數學要用到，很多後續課 程都要用到，具體的思路大家可以參考定積分的應用部分，書上也有很多具體例子， 就不詳細解釋了，因爲它實在是太有用了，所以我個人覺得必須熟練掌握。考研裏的 應用題就是一個從實際問題到數學模型的建模過程，然後再對這個數學模型求解，那 麼如何建立？

一般就都是用微元法分析了，比如求面積、體積、弧長、變力作功、流 量等等等等，從根本上來說都是相通的。有時還會結合極值問題，分一元函數和多元 函數的極值兩部分，多元函數有有條件極值和非條件極值，我做過一道模擬題，覺得 出得相當的好，是先給一個隨機變量，要求其參數的估計值，首先要求無偏，實際上 這就給出了一個限制條件，然後要求最優，這時就成爲了一個多元極值問題且是條件 極值，這道題目把概率論和高數的內容串了起來，其實在複習的過程中見到此類綜合 題可以有意識的記下來，時常翻閱，體會出題者的心思。說了那麼多，都是在說哪些是重要的，哪些是要掌握的，那麼自然就有與之相對 應的一些部分，這些部分我稱爲“邊緣內容”，這些內容基本上是隔幾年來纔出一道 選擇題或者填空題，大題是肯定不會涉及的。我自己總結如下：漸近線、3階及以上的 高階導數、旋轉曲面的面積、傅立葉級數、二元函數的泰勒公式、歐拉方程、範德蒙 行列式、二維正態分佈、大數定理、中心極限定理、契比雪夫不等式、區間估計、假 設檢驗，正如考綱上寫的，這些東西瞭解就可以了。至於空間解析幾何部分和不等式 兩塊內容，考研一般不會正面涉及，一般是要求將其作爲工具掌握，也就是作爲其它 題目中的一個部分來考查，沒見到過大題專門出過空間解析幾何（如求公垂線方程） 和證明不等式的。還是那句話，因爲內容多，爲避免煩躁情緒過早出現，在第一遍復 習時應該先集中精力突破重要的和佔分點多的部分，之後再來解決邊緣內容，而且面 對它們時大可不必有壓力。剩下就是一些易混淆點了，比如在單變量函數時，可導必能推出連續並且可導和 可微等價，但在多變量函數時就算偏導數都存在也不一定可微，條件加強爲偏導數連 續。線性代數裏面的幾個概念，等價（與相抵說法同）、相似、合同之間相互有無關 系？比如等價是否一定相似，相似是否一定合同，反過來呢？這些一定要搞清楚，不 能一知半解。我說過最好要掌握原理，而不需要強記，個人覺得這兩者是結合起來的c吧，能掌握原理的就掌握原理，實在不能在短時間內掌握再強記。前邊提到了公式和 定理，其實基本概念裏還有一個內容：定義。我學習的過程中就是把定義作爲掌握原 理的出發點的，拿上面的例子來說，何謂等價？何謂相似？何謂合同？

把這些說法用 數學語言嚴格的表示出來就是定義，然後再分析相互之間有甚聯繫。

考研數學中會出 現一些考察說法的選擇題，這類題就是專撿那些易混淆部分來考的，無孔不入，大家 可以翻翻歷年真題看看。最後我結合05年真題，也就是自己在考場上做過的這張卷子，談談自己對今年試 題的看法。題目就不寫了，可以對照原題來看，現在應該都出了，就說說對其考查知 識點的看法吧。總的來說，今年的數學一真題再次驗證了“考研注重基礎”的說法， 沒有偏題怪題，我此前提過一個“1：2：7”的說法，1爲難題、2爲簡單題、7爲中等 題，這幾年考題的結構差不多是按這個比例來的。

填空第一道求漸近線，03年有傅立葉級數，04年有歐拉方程，邊緣內容一般就是 一道小題，漸近線容易求，但是別被迷惑，此題給的函數有兩條漸近線，而要求的是 斜漸近線，當然後來聽說也有人兩條都寫了上去，總之看題還是仔細些吧。第二題求 解微分方程，等式兩邊變形爲一階線形微分方程，不過非齊次的要用常數變易法，注 意運算不要出錯即可。第三道求方向導數，這裏提一下，多元積分那部分出現了很多 概念，如方向導數、梯度、通量、散度、環流量、旋度，要搞清楚它們的相互關係， 方向導數和梯度，通量和散度，環流量和旋度，方向導數是一個數，而梯度是一個向 量，此題先求梯度再得方向導數。第四題是高斯公式的直接應用，直接根據已給方程 確定積分區域，注意區域是否封閉，還有必須是外側，內側就要在整個結果前添負 號，這些都是細節，如果題目中稍有變化，如果不注意就要吃虧了。

第五題求行列 式，由於是抽象行列式，必須利用好已知量和待求量之間的關係，這就是前邊說要熟 練掌握行列式的初等變換的原因，如果利用矩陣的形式來寫出它們的關係則更一目了 然，再利用"乘積的行列式等於行列式的乘積"就好解決得多了，所以說考研題一般不 會單單侷限於一個知識點，通常都是跨章節的。最後一題求某概型的概率，先分類討 論，再用全概率公式求得。選擇第一道也是要分類討論，根據自變量不同的取值範圍得出對應區間上的函 數表達式，然後在判斷可導或不可導點，類似的題目在高數課後練習上就有了的，但 我居然選錯了，令我事後鬱悶不已，所以在考場上保持高度精神集中是很必要的，這 需要大量的模擬衝刺練習來支撐。

第二道是上面提到過的說法題，如果記得這個結論 是可以直接選的，但大多人不會記得這麼清楚，一般只能很快排除後兩項，那麼a、b 到底哪個對？別忘了原函數求出來是帶任意積分常數c的，而奇函數是要求過原點的， 這樣由於b選項中常數的任意取值不能確保原函數一定過原點，所以不一定爲奇函數， 這樣就排除了強幹擾項。第三道要求二階偏導數，由於是複合函數，計算需萬分小 心，只要不出錯就能順着得出答案。第四道是05年新增考點，隱函數存在定理，這裏c要提的就是，每年的新增考點一般都必考，所幸數學一般每年變化也就在一兩個知識 點，等今年考綱出來注意一下就行了。第五題是線代裏特徵值和特徵向量的問題，注 意不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關，把這個結論用起來就好辦了，剩下就 是一類典型題，由已知一組向量線性無關推導另一組向量線性無關，且兩組向量間有 一定關係，這樣的練習在書上隨處可見。

第六道涉及矩陣的初等變換，其實在初等變 換一章講過將一個矩陣進行初等變換相當於乘以一個對應的初等矩陣，把題目中的說 法都翻譯成數學語言，剩下的就是數學上的變換了。第七題考了二維隨機變量，實際 上充分利用好其若干性質就可以了，就是注意把獨立性用進來。最後一題是數理統計 裏的常用的抽樣分佈及其變形，如果記得就非常簡單，把選項一個一個拿來對應分析 就可以了，出題人真是用心險惡，把正確項設在最後一個……當然如果一眼能看出對 的來就不用再算別的了，概率論與數理統計教材第六章提到的幾個抽樣分佈很難記， 容易混淆和忘記，只能靠多看來加強記憶了。然後是解答題。

第一道求兩重積分，但涉及面並不單一，被積函數需要根據積分區域進行拆分， 其實就是一個分類討論的思想，關鍵是一上來千萬別被那個取整函數嚇到，冷靜分析 後就發現其實不難，就形式上陌生一些而已。

第二道是先求收斂域再求和函數，前一部分簡單，難在後一部分，求和函數時要 用兩次逐項積分求導的方法，計算計較煩，而且要求積分的功底比較好，否則就算知 道怎麼做也不一定能順利完成。順便提一下吧，五個常用函數的級數展開式一定要爛 熟於心，等比級數、指數函數、兩個三角函數和二項展開式，而且不要忘了對應的收 斂域。

第三道可以算是應用題，簡單，直接用牛――萊公式，分佈積分得結果。

第四道是中值定理方面的證明題，這類題最有效的辦法就是用“原函數法”，即 先令要求證的等式爲一個新的函數，想辦法找出這個新的函數的原函數，看其是否滿 足某些中值定理的條件（一般都滿足），然後就是順利成章的應用定理了。突破點在 於構造出合適的函數，這方面也要求平時複習時注意積累。還有就是分兩問或者三問 的題目，注意把前一問的結論用起來，後一問的難度就下降了。

第五道是我個人覺得整張卷子最難的一道題，我丟分基本就丟在這道吧，相關知 識點是格林公式、微分方程。第一問證明結論，如果看過（大致記得）格林公式的證 明過程的話，就會比較有頭緒，採取補封閉曲線的方法就可以得到結論，注意曲線方 向的協調一致。然後利用格林公式得到一個微分方程，求解即可，但求解過程很煩， 我最後是通過觀察法把未知函數先看出來的，然後在拼湊上去，估計失分就在這裏 吧。

接下來是線性代數的兩道題，第一道涉及的知識點多，從特徵值到二次型，但非 常簡單，計算也不是很煩，唯一要注意的就是特徵向量求出後別忘了單位化，其它沒 什麼好說的。第二道題出得很新穎，這是我唯一在考前沒有見過的題型，還是利用分c類討論的思想，把未知參數的取值討論一下，因爲矩陣的秩有所不同的話，線性方程 組的解的形式也隨之不同，如果知道這個常用結論：如果ab=0，則r（a）+r（b）<=n，這 個題目難度就去了一大半，接下來只要討論裏不要遺漏就可以了。所以說，常總結一 些雖然不是書上的直接定理，但是很有用的結論是有必要的，因爲其實就像上邊這個 結論，也不難記。

最後是概率論與數理統計，第一道是二維隨機變量的分佈函數和概率密度。

如果 搞清楚了隨機變量函數的意義，根據已知條件，這個模型不難建立，還是回到原理這 個說法上，概率論的東西比較抽象，但是如果多思考一下，從現實意義上把握的話可 能會輕鬆一些。隨機變量是什麼？從根本上來說就是一個函數，只不過自變量不是通 常的數，而是一些事件，函數值就是這些事件對應的發生概率而已。在求函數的隨機 變量分佈時我不主張記公式，而建議自己從隨機變量的說法、定義去推出數學表達 式。第二道考數字特徵，當然也把數理統計裏的樣本揉進來了，樣本之間意味着相互 獨立，注意數字特徵的某些特徵要求隨機變量之間相互獨立，有些則不然，總之要分 清這些性質，最好能準確歸類。舉個例子，兩個正態分佈的線性組合仍是正態分佈， 這對不對？