高二數學教案函數的極值與最值教案
一、課前準備：
【自主梳理】
1.若函數f(x)在點x0的附近恆有 (或 )，則稱函數f(x)在點x0處取得極大值(或極小值)，稱點x0爲極大值點(或極小值點).
2.求可導函數極值的步驟：
①求導數 ;
②求方程 的根;
③檢驗 在方程 根的左右的符號，如果左正右負，那麼函數y=f(x)在這個根處取得極 值;如果左負右正，那麼函數y=f(x)在這個根處取得極 值.
3.求可導函數最大值與最小值的步驟：
①求y=f(x)在[a,b]內的極值;
②將y=f(x)在各極值點的極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個爲最大值，最小的一個是最小值。
【自我檢測】
1.函數 的極大值爲 .
2.函數 在 上的最大值爲 .
3.若函數 既有極大值又有極小值，則 的取值範圍爲 .
4.已知函數 ，若對任意 都有 ，則 的取值範圍是 .
(說明：以上內容學生自主完成，原則上教師課堂不講)
二、課堂活動：
【例1】填空題：
(1)函數 的極小值是__________.
(2)函數 在區間 上的最小值是________ ;最大值是__________.
(3)若函數 在 處取極值，則實數 = _.
(4)已知函數 在 時有極值0，則 = _.
【例2】設函數 .
(Ⅰ)求 的最小值 ;
(Ⅱ)若 對 恆成立，求實數 的取值範圍.
【例3】如圖6所示，等腰 的底邊 ，高 ，點 是線段 上異於點 的動點，點 在 邊上，且 ，現沿 將 折起到 的位置，使 ，記 ， 表示四棱錐 的體積.
(1)求 的表達式;
(2)當 爲何值時， 取得最大值?
課堂小結
三、課後作業
1.若 沒有極值，則 的取值範圍爲 .?
2.如圖是 導數的圖象，對於下列四個判斷：?
① 在[-2，-1]上是增函數;?
② 是 的極小值點;?
③ 在[-1，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數;?
④ 是 的極小值點.?
其中判斷正確的是 .?
3.若函數 在(0，1)內有極小值，則 的取值範圍爲 .
4.函數 ,在x=1時有極值10，則 的值爲 .
5.下列關於函數 的判斷正確的是 .
①f(x)0的解集是{x|0
②f(- )是極小值，f( )是極大值;?
③f(x)沒有最小值，也沒有最大值.?
6.設函數 在 處取得極值，則 的值爲 .
7.已知函數 ( 爲常數且 )有極值9，則 的值爲 .
8.若函數 在 上的最大值爲 ，則 的值爲 .
9.設函數 在 及 時取得極值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若對於任意的 ，都有 成立，求c的取值範圍.
10.已知函數 ,求函數在[1，2]上的最大值.
四、糾錯分析
錯題卡 題 號 錯 題 原 因 分 析
參考答案：
【自我檢測】
1.7 2. 3. 4.
例1：(1)0 (2)1， (3)3 (4)11
例2：解：(Ⅰ) ，
當 時， 取最小值 ，
即 .
(Ⅱ)令 ，
由 得 ， (不合題意，捨去).
當 變化時 ， 的變化情況如下表：
遞增 極大值
遞減
在 內有最大值 .
在 內恆成立等價於 在 內恆成立，
即等價於 ，
所以 的取值範圍爲 .
例3：解：(1)由折起的過程可知，PE平面ABC， ，
V(x)= ( )
(2) ，所以 時， ，V(x)單調遞增; 時 ，V(x)單調遞減;因此x=6時，V(x)取得最大值 ;
課後作業
1.[-1，2] 2.②③ 3.0
5.?①② 6.1 7.2 8.
9.解：(Ⅰ) ，
因爲函數 在 及 取得極值，則有 ， .
即
解得 ， .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ，
.
當 時， ;
當 時， ;
當 時， .
所以，當 時， 取得極大值 ，又 ， .
則當 時， 的最大值爲 .
因爲對於任意的 ，有 恆成立，
所以 ，
解得 或 ，
因此 的取值範圍爲 .
10.解： ∵ ，
令 ,即 ,得 .?
f(x)在(-,0), 上是減函數，在 上是增函數.?
①當 ,即 時, 在(1，2)上是減函數,? .
②當 ,即 時, 在 上是減函數,
? .
③當 ,即 時, 在 上是增函數,?
.
綜上所述，當 時， 的最大值爲 ,?
當 時， 的最大值爲 ,
當 時， 的最大值爲 .
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