勾股定理證明題 證明書

勾股定理證明題
已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊爲長邊在△ABC外作矩形，使每個矩形的寬爲長的一半，S1、S2、S3分別表示這三個矩形的面積，則S1、S2、S3之間有什麼關係?並證明你的結論。(要詳細解題過程)
因爲D是AB的中點，DE垂直於DF於D
所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE
又因爲，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC
即，∠DFB=∠AED=90度
根據勾股定理 則有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)
BF^2=BD^2-DF^2-------(2)
又因爲D是AB的中點，DE//BC,DF//AC。
所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)
在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)
即 EF^2=AE^2+BF^2
因爲D是AB的中點，DE垂直於DF於D
所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE
又因爲，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC
即，∠DFB=∠AED=90度
根據勾股定理 則有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)
BF^2=BD^2-DF^2-------(2)
又因爲D是AB的中點，DE//BC,DF//AC。
所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)
在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)
即 EF^2=AE^2+BF^2
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設MD,ME,MF分別交AC,BC,AB於P,Q,R,連接,MC
由勾股定理
MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)
BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)
CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)
CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)
MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)
由(1)(2)(3)(4)(5)可得
AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2
即AE^2=AF^2
AE=AF
4已知△ABC爲直角三角形 ,∠BAC=90°,D爲B邊中點,有一塊直角三角板PMN，其中∠MPN=90°，將它放在△ABC上，使得其頂點P與D點重合，旋轉三角板OMN，在旋轉過程中，三角板的兩條直角邊DM、DN分別與AB、BC邊所在直線交於點E、F，連接EF;
(1)當E、F分別在邊AB、AC上時(如圖1)，求證：BE^2+CF^2=EF^2
(2)當E、F分別在邊AB、AC所在的直線上時(如圖2)，線段BE、CE、EF之間的關係是否變化?請說明理由
(3)在圖2中，若AB=6，AC=4，AE=1，求EF的長
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作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別爲a、b ，斜邊長爲c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P.
∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個邊長爲c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個邊長爲a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長爲b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積爲S，則
,
∴ BDPC的面積也爲S，HPFG的面積也爲S由此可推出：a^2+b^2=c^2